Implicaciones tautológicas y equivalencias tautológicas: las leyes de la Lógica

El estudio de las tautologías es importante porque sirven como "esqueleto", o modelo de razonamientos correctos. Las tautologías que estudiaremos en este apartado no son todas las tautologías posibles. De hecho, el número de posibles tautologías es literalmente infinito.

La selección de tautologías que estudiaremos se basa en un criterio práctico: su conocimiento nos puede resultar útil para fundamentar los argumentos, los razonamientos que empleamos en nuestra actividad intelectual cotidiana.

Como dice Alfredo Deaño en su Introducción a la lógica formal:

Toda ciencia es un sistema de enunciados. De enunciados que se refieren, de un modo más o menos lejano, a los objetos de los que esa ciencia se ocupa. Puesto que la lógica se ocupa del razonamiento desde el punto de vista de su forma, lo que sus enunciados enunciarán serán formas de razonar. Y puesto que la lógica es la ciencia de la inferencia formalmente válida, a la lógica le ha de interesar distinguir aquellas formas de inferencia que son válidas de aquellas otras que no lo son. Y le interesará retener y enunciar con rigor las formas válidas de inferencia. Así pues, los enunciados de la lógica representarán , en general, formas de inferencia, y, señaladamente, formas válidas de inferencia.

(Alfredo Deaño, Introducción a la lógica formal, Alianza Editorial, página 103)

Es importante recordar...

Es importante recordar que el hecho de que la Lógica haya de ocuparse de los razonamientos válidos quiere decir que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también ha de ser forzosamente verdadera. Dicho de otro modo: en los razonamientos válidos la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión. La conectiva lógica que recoge esta noción de verdad de las premisas y su incompatibilidad con la falsedad de la conclusión es el implicador. Recordemos que el único caso en que una implicación es falsa es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. De forma análoga, un razonamiento es inválido cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.

Así pues, en este apartado de Aprende Lógica estudiaremos los enunciados de la Lógica que son formalmente válidos. Pero los modos válidos de razonar se pueden presentar de dos formas equivalentes: en forma de leyes lógicas (las implicaciones y equivalencias tautológicas) y también en formas de reglas de inferencia. Veamos las peculiaridades de cada una de estas dos formas de presentar los esquemas de inferencia lógicamente válidos:

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Las leyes lógicas tienen la estructura de una implicación cuyo antecedente puede estar formado por conjunciones (las premisas) y cuyo consecuente es la conclusión. Por ejemplo, la ley lógica llamada Modus Ponens tiene la siguiente estructura en forma de ley:

((p→q)∧p)→q

Si hacemos la tabla de verdad de la fórmula anterior comprobaremos que se trata de una tautología. En cambio, si hacemos la tabla de verdad de ((p→q)∧p)→¬q, en la que se afirman las premisas (p→q)→p, pero se niega la conclusión q, nos encontraremos que no se trata de una tautología, y por consiguiente no es un esquema de razonamiento válido para todas las posibles combinaciones de verdad o falsedad de los enunciados p y q.

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Las reglas de inferencia presentan cada una de las premisas en una línea diferente, y la conclusión separada por una raya horizontal. Así, la ley llamada Modus Ponens se puede presentar de la siguiente manera en forma de regla de inferencia (llamada también forma argumental o derivación):

  • p→q
  • p
  • ⊢q

Expresando todo esto en una terminología técnica:

Cada enunciado condicional, A→B, se puede reexpresar como una derivación, A⊢B, denominada argumento o derivación correspondiente del condicional.

Recíprocamente, cada derivación, A1, A2,...An⊢B se puede reexpresar como un enunciado condicional con la forma (A1 ∧ A2 ∧ ...∧ An)→B denominada condicional correspondiente del argumento.

Como hemos adelantado, dividiremos nuestro estudio de las leyes de la Lógica en dos apartados: por una parte las implicaciones tautológicas (es decir las tautologías con la estructura A→B), y por otra parte las coimplicaciones o equivalencias tautológicas (las tautologías con la estructura A↔B). Además seguiremos la sana práctica de presentar cada una de las leyes tanto en forma de leyes (implicaciones y equivalencias tautológicas) como en forma de reglas de inferencia (es decir, en forma argumental).

En adelante seguiremos la convención de utilizar las letras p, q, r ... para referirnos a los enunciados atómicos, y las letras mayúsculas A, B, C ... para hablar tanto de enunciados atómicos como moleculares.